Radici quadrate ed idee ed esperienze di calcolo mentale.

Salve a tutti.
Probabilmente nessuno si ricorderà di me quindi faccio un riassuntino: iscritto e presentato nel lontano 2012, dedito al calcolo mentale e digiuno di tecniche di memoria venni in questi lidi per vedere di apprendere qualche tecnica come ausilio al calcolo mentale.
Feci domande e ricevetti risposte esaurienti ma mi resi conto che dovevo prima studiarle le tecniche di memoria e poi fare domande.
Da allora è cambiato che qualcosina di tecniche di memoria ho appreso e allora ho pensato che fosse il momento di ritornare per avere non dire uno scambio alla pari ma almeno capire quello che mi si consigliava.
Io di calcolo mentale ne mastico un bel po. Per le 4 operazioni base uso questo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mental_abacus
però visto che sono appassionato dell'argomento conosco bene tutti i sistemi di calcolo mentale e quindi si potrebbe avere uno scambio di esperienze: la mia esperienza di calcolo mentale e la vostra esperienza di tecniche di memoria.

Come esempio pratico avevo pensato al calcolo della radice quadrata perché credo sia un algoritmo che rappresenti al meglio tutte le caratteristiche che accomunano gli algoritmi di calcolo mentale e chi ha mai letto un libro sull'argomento, penso, non potrà non concordare.
Quali sono queste caratteristiche? Per prima cosa gli algoritmi di calcolo mentale mirano alla semplicità. Gli algoritmi devono essere semplici perché altrimenti diventano difficili da eseguire a mente. Per i calcoli a mente è preferibile un algoritmo lento (nel senso di richiedere molti passaggi) ma semplice (nel senso che anche se le operazioni sono molte sono operazioni semplici) a uno veloce ma complicato (nel senso di poche operazioni ma difficili). Questo è, per esempio, il motivo per cui l'algoritmo di Newton (altresì noto come babilonese) per la radice quadrata, che è un algoritmo molto "veloce", nel calcolo mentale si usa fino a massimo alla 2a iterazione (ci sarebbe altro da dire ma non mettiamo troppa carne al fuoco). Meglio un algoritmo più "lento" ma più semplice da gestire mentalmente (e di seguito ne presenterò alcuni).
Una seconda caratteristica degli algoritmi di calcolo mentale è ottenere la soluzione una cifra alla volta.
Prendiamo per esempio la moltiplicazione: se uno utilizza l'algoritmo insegnato a scuola per scrivere la soluzione deve tenere a mente un sacco di numeri fino alla fine e la soluzione la scrive tutta in un colpo alla fine. Un algoritmo di calcolo mentale cerca di scrivere la soluzione una cifra alla volta e una volta scritta o memorizzata quella cifra può dimenticarsi di tutti i calcoli fatti per calcolarla.
TarsioSpettro ne ha dato un esempio in Moltiplicazione schema a crocette/metodo Trachtenberg*.
Una terza caratteristica degli algoritmi di calcolo mentale è che cercano di utilizzare, nei passaggi, numeri quanto più piccoli possibili ma al contempo di essere scalari: se riesci a gestire addizioni e moltiplicazioni a una sola cifra allora usi l'algoritmo con numeri di una cifra per ottenere la soluzione una cifra alla volta, se riesci a gestire addizioni, moltiplicazione eccetera con numeri di 2 cifre allora con lo stesso algoritmo otterrai la soluzione due cifre alla volta.

* Cosa curiosa un algoritmo simile fu introdotto in Europa da Fibonacci nel suo Liber abaci nel 1202 salvo poi essere sostituito da altri algoritmi (gelosia, graticola) per risorgere poi ciclicamente: Mi ricordo un libro tedesco del 1600 che lo rispolverava come algoritmo di calcolo veloce, Menninger nel suo libro nel 1900 e qualcosa, Trachtenberg (citato da Tarsio) che lo reinvento durante la prigionia**, la riproposizione nella matematica vedica nel 1960 circa eccetera.

** Tra l'altro mi si consenta una precisazione solo per amore di precisione, Quello che Tarsio chiama metodo a crocette/metodo Trachtenberg è quello che Trachtenberg nel suo libro chiamava metodo diretto, sempre nel suo libro più avanti Trachtenberg introduceva un ulteriore affinamento del metodo denominato two fingers method. Di solito, almeno negli ambienti virtuali che io frequento in cui si discute di calcolo mentale, di solito mi è parso che con metodo Trachtenberg si intendesse sempre il two fingers method mentre per il metodo diretto si usasse il nome cross multiplicatiion.


Premesso questo andiamo avanti. Volevo cominciare a scrivere l'algoritmo questa sera ma mi accorgo ora che non ho più tempo, vuol dire che lo scriverò domani. Lascio solo qualche informazione nel caso qualcuno volesse cominciare a guardarselo cercandolo con google.
L'algoritmo calcola la radice quadrata di un numero qualsiasi (quindi non parliamo di algoritmi basati sull'aritmetica modulare usati per i quadrati perfetti che derivano la soluzione senza calcolarla, mi riferisco per esempio a quello usato in Radice cubica di un cubo perfetto a mente).
L'algoritmo che proporrò domani ha vari nomi. Il più comune è algoritmo vedico ma io ne proporrò la variante proposta da Doerfler nel suo libro Dead Reckoning. Un metodo simile lo trovate anche (cito alcune fonti nel caso le aveste sotto mano) in: Mental calculator's handbook di Fountain, The crowning gem di Kenneth, Power of vedic math di Gupta e una variante che fa uso del ricalcolo del duplex la potete trovare (sempre nel caso qualcuno lo frequenti) nel gruppo di Yahoo sul soroban nella sezione files.
Il secondo algoritmo che vorrei presentare domani se ce la faccio a tempo è quello basato sull'interpolazione presentato da George Lane (campione del mondo di calcolo mentale) nel suo libro Mind Games (in italiano dal titolo Come diventare campioni di matematica).

Per stasera e tutto. A domani.

@Max_memory
Mi fa piacere sapere che ti fa piacere sapere che mi fa piacere ritornare su questo forum .
Sulla parte matematica cercherò di essere il più chiaro e semplice possibile. Ogni volta che introdurrò un concetto che penso non sia alla portata di tutti cercherò di definirlo in modo semplice e farò largo uso di esempi.
Poi chiaro che chi non capisce una cosa può chiedere e cercherò di spiegarla con un linguaggio ancora più semplice.
Questo sulla parte matematica, sulla parte di memoria non credo ci sarà chi non riuscirà a starmi dietro visto che probabilmente sono il più scarso del forum sulle tecniche di memoria e saranno gli altri a correggermi.

Riguardo alla questione dell'emisfero destro e sinistro ho 2 considerazioni da fare.
1) È vero che per le tecniche di memoria si usa l'emisfero destro (visto che in soldoni le tecniche di memoria sono visualizazioni) e il calcolo numerico, come tutte le manipolazioni mentali di enti astratti, è prerogativa dell'emisfero sinistro però io da profano non vedo difficoltà. Si può tenere conto nell'emisfero destro dei risultati parziali sotto forma di visualizzazioni mano a mano che vengono calcolati e contemporaneamente usare l'emisfero sinistro per calcolare i passaggi intermedi che possono essere dimenticati non appena i risultati parziali della soluzione vengono memorizzati tramite visualizzazione.
2) Questo in generale, poi c'è un'altra cosettina curiosa: che io uso il sistema dell'abaco mentale per fare i calcoli, e l'abaco mentale a differenza della manipolazione diretta dei numeri usa immagini (le immagini delle palline dell'abaco che vengono mosse mentalmente secondo regole meccaniche, quindi niente pensiero raziocinante tipico dell'emisfero sinistro) e quindi usa solo l'emisfero destro.
Da quando ho imparato il sistema dell'abaco, che non tutti quelli che si dilettano con i calcoli a mente usano, quando faccio calcoli l'emisfero sinistro non lo uso proprio (a meno che certamente non ci siano numeri astronomici e allora utilizzo altri sistemi per pervenire a soluzioni approssimate).
Non so se mastichi un po di inglese:
http://news.stanford.edu/news/2011/august/...ath-080311.html

Riprendendo il punto 1) e usando la moltiplicazione a croce faccio un esempio di come organizzerei io la cosa se non usassi il sistema dell'abaco. 35*98=?
Memorizzo 35 e 98 tramite schedario fonetico (in generale, io in particolare memorizzo solo il secondo fattore 98, il primo ce l'ho già fisso sull'abaco mentale), PAV e tecnica delle associazioni (io i calcoli li faccio con gruppi di due cifre per volta e quindi essendo alla fine pochi gruppi non mi conviene usare lo schedario numerico ma solo l'associazione, se uno i calcoli li fa una cifra per volta e i numeri sono abbastanza lunghi forse conviene usare lo schedario numerico così da ricordare anche l'ordine delle cifre).
ES=Emisfero sinistro, ED=emisfero destro
ES 5*8=40
Memorizzo lo 0 come soluzione parziale tramite visualizzazione in ED, in ES tengo a mente solo il 4, richiamo da ED le cifre 3 e 5 e 9 e 8 e in Es 3*8=24, 9*5=45 24+45=69+4=73, passo 3 in ED e in Es ricordo solo il 7.
Da Ed richiamo le cifre 3 e 9, in es 3*9=27+7=34. Passo 34 in ED e scrivo partendo da destra la soluzione =3430.
È per questo che dicevo nel messaggio precedente che è importante che l'algoritmo che si usa permetta di calcolare una cifra alla volta e poi di dimenticarsi dei passaggi intermedi che devono essere semplici perché da eseguire in ES senza usare tecniche di memoria. Così uno utilizza l'emisfero sinistro per fare i conti dei passaggi intermedi senza perdere tempo a memorizzare numeri che una volta utilizzati per ottenere le cifre parziali della soluzione non servono più e l'emisfero destro con le tecniche di memoria solo per memorizzare le cifre della soluzione man mano che vengono fuori dai calcoli intermedi. Ripeto, questo è come farei se non usassi il sistema dell'abaco mentale.
Credo che la cosa fatta in questo modo (i calcoli effettuati solo in ES e ED solo memorizzazione statica) risolva un problema delle tecniche di memoria (o forse a me sembra un problema perché con le tecniche di memoria sono ancora ad un livello basso come pratica): la staticità all'interno. Cerco di spiegarmi. Io uso il metodo dell'associazione (converto i gruppi di numeri di due cifre in immagini tramite uno schedario fonetico già memorizzato e poi mi immagino una storia con il PAV), però credo che la cosa valga anche per tecniche tipo lo schedario numerico o la tecnica dei loci. Non ho problemi ad aggiungere una nuova associazione alle precedenti o ad immagazzinare una nuova immagine in un loco, però ho molta difficoltà se invece di aggiungere una associazione alle altre devo modificare un'associazione già creata e legata ad altre associazioni. Ora potrebbe essere un problema solo mio dovuto alla mia scarsa pratica, se però fosse una cosa oggettiva allora dimostrerebbe come le attuali tecniche di memoria siano inefficaci per il calcolo mentale che è principalmente una questione dinamica (specie con certi algoritmi) dove i numeri non sono fissi ma cambiano ad ogni passaggio. Per esempio la moltiplicazione di prima poteva essere anche fatta da sinistra a destra (usando lo stesso algoritmo ma cambiando la direzione). Ecco come sarebbero cambiati in numeri nella mia testa:
2700
2940
3390
3430
situazione troppo dinamica per una memorizzazione (che senso ha perdere tempo a memorizzare 2700 quando già dal passaggio successivo il numero cambia e ricordarmi 2700 non mi serve più a nulla?). Poi ripeto, posso anche aver detto una stupidaggine visto il mio livello basso nelle tecniche di memoria.


Allora tornando alle radici quadrate, per prima cosa correggo un errore dovuto alla fretta, nel mio messaggio precedente al terzo punto la parola scalare va sostituita con scalabile.
Veniamo ora all'algoritmo. Premetto che preferisco prima introdurre l'aspetto prettamente numerico e solo dopo quello mnemonico.

Per prima cosa qualche concetto preliminare. Nel mio post precedente ho scritto che nel calcolo mentale si preferiscono algoritmi che forniscono la soluzione una cifra, o gruppi di cifre, alla volta. A volte per ottenere la soluzione finale basta unire (cioè mettere una dopo l'altra) queste cifre.
Esempio. Se eseguo la divisione 2000/2015 con un certo algoritmo (divisione di Fourier con aggiustamento) che per ora non ci interessa ottengo la soluzione sotto forma di gruppi di cifre come segue: 0, 9, 9, 2, 5, 5, 6 eccetera. Per ottenere la soluzione mi basta unire le cifre 0.992556. In alcuni casi questa unione non è così immediata (ma non per questo complicata).
Esempio. Se la divisione di prima l'avessi eseguita senza aggiustamento avrei ottenuto le cifre della soluzione nella forma: 1,-1, 9, 2, 5, 5, 6 e sarebbero quindi usciti fuori dei numeri negativi da maneggiare. Come si fa in questo caso per ottenere la soluzione in forma normale? Come si faceva con le sottrazioni alle elementari, ci si fa prestare una decina dal numero a sinistra. Lo faccio vedere nella pratica. Per prima cosa utilizzo la notazione che di solito si usa quando si fa l'unione.
1,-1, 9,2, 5, 5, 6 si scrive 1|-1|9|2|5|5|6
1|-1|9|2|5|5|6
1=0+1|-1|9|2|5|5|6
0+1|-1|9|2|5|5|6
quel +1 sono decine e sempre dalle scuole elementari 1 decina = 10 unità per cui
porto le 10 unità a sinistra 0|10-1|9|2|5|5|6 ottenendo 0|9|9|2|5|5|6.

Qualche altro esempio per essere sicuro che il concetto sia chiaro:
6|-4|-8|2|-9|5|-1 diventa (faccio tutti i passaggi)
5|6|-8|2|-9|5|-1
5|5|2|2|-9|5|-1
5|5|2|1|1|5|-1
5|5|2|1|1|4|9
5521149

2|0|-4
1|10|-4
1|9|10-4
1|9|6
196

3|0|0|-8 = 2992

A volte può capitare che qualche gruppo di cifre ecceda la dimensione voluta. Nessun problema si fa la cosa opposta: invece di trasformare le decine in unità e portarle a destra si trasformano le unità in decine e si portano a sinistra (questa volta la normalizzazione la farò da destra a sinistra giusto per variare un po ma si può fare indifferentemente da ambo i lati):
1|48|2|895|1|78
1|48|2|895|1+7|8 = 1|48|2|895|8|8 = 1|48|2+89|5|8|8 = 1|48|91|5|8|8 = 1|48+9|1|5|8|8 = 1|57|1|5|8|8 = 6|7|1|5|8|8 =671588

Altro esempio: 98|-789 = 98-78|-8 = 20|-8 = 19|2= 192.

Ora può sembrare una cosa complicata ma con un po di pratica diventerà normale passare al volo dalla sequenza iniziale a quella finale senza fare neanche i passaggi intermedi. Inoltre questo fatto di poter utilizzare i numeri negativi che ora sembra una inutile complicazione diventerà qualcosa che vi salverà la vita quando poi vi presenterò l'algoritmo per la radice quadrata visto che eviterà una cosa pallosissima come l'aggiustamento del duplex. Ma diamo tempo al tempo.

Altro concetto preliminare da esporre prima di presentare l'algoritmo: la divisione euclidea.
Che roba è questa divisione euclidea? Niente altro che la classica divisione con il resto insegnata alle elementari con la piccola differenza che qui si usano anche dividendo e divisore negativi.
Prima di affrontare l'argomento un suggerimento, da qui in avanti utilizzerò i numeri negativi. È un argomento fatto in terza media ma è normale che se nella vita uno fa un lavoro che non ci azzecca nulla con la matematica non si ricordi più nulla. Io ho studiato latino 5 anni al liceo e già pochi anni dopo non mi ricordavo quasi più nulla. Nessun problema qui trovate un ripasso semplice sull'argomento: www.ripmat.it/mate/b/bb/bb.html
Anche qui faccio degli esempi. 34/15 = 2 + resto 4 perche 15*2=30 +resto 4=34. In simboli lo scriverò 34/15=2R4 Insomma niente di speciale.
Prendiamo ora la divisione -34/15. Quanto fa? Di primo acchitto si sarebbe portati a rispondere -2 e resto -4 infatti 15*-2=-30 +-4= =-34. Sbagliato! Perché nella divisione euclidea il resto deve essere sempre non negativo.
Ora senza andare troppo nel tecnico un modo veloce per fare -34/15 è fregarsene del segno -, calcolare il quoziente e il resto di 34/15 che abbiamo visto essere 2 e 4, aggiungere 1 al quoziente e cambiare il segno per ottenere il quoziente giusto, fare divisore (15) - resto (4) per ottenere il resto giusto.
In cifre 34/15=2R4 per cui -34/15=-(2+1)R(15-4)= -3R11 e come si può verificare -34= 15*-3 +11 = -45+11=-34.
Altro esempio 891/31 = 28R23, per cui -891/31=-29R8. Ci sarebbero altri casi da esamionare (divisore negativo e dividendo e divisore negativi) ma non capitano nell'algoritmo che poi spiegherò quindi non serve trattarli.

Ultima cosa che bisogna conoscere prima di buttarsi sull'algoritmo della radice quadrata: i duplex.
Duplex è un termine che viene da quel sistema di calcolo mentale chiamato matematica vedica, in alcuni libri (per esempio in Speed Mathematics di Handley) viene chiamato cross multiplication ma questo termine può creare ambiguità con il metodo di moltiplicazione diretta di Trachtenberg quindi preferisco usare il termine duplex che poi è anche quello più utilizzato.
In realtà quello che sto per introdurre ora non è il duplex vero è proprio ma qualcosa che gli assomiglia molto e che non ha per il momento un nome proprio nonostante sia usato in molti testi, io lo chiamo semiduplex per distinguerlo da un duplex e per comodità da ora in avanti userò questo termine.
Definiamo questo benedetto semiduplex.
Il semiduplex è definito sui numeri interi. Si prende il numero intero e lo si suddivide in gruppi di una cifra.
Esempio 1234 = 1|2|3|4.
Poi se il numero di gruppi è pari si fa 1o gruppo per ultimo gruppo + 2o gruppo * penultimo gruppo + così via fino ad esaurimento gruppo. Nel caso precedente se indichiamo il semiduplex di 1234 con SD(1234) si ha SD(1234) = 1*4+2*3 = 4+6=10 per cui il semiduplex di 1234 =10.
Altro esempio SD(45)= 4*5=20, SD(123456)= 1*6+2*5+3*4= 6+10+12=28.
Se invece il numero di gruppi è dispari la definizione di semiduplex è 1o gruppo *ultimo gruppo + 2o gruppo * penultimo gruppo + eccetera eccetera + la metà del quadrato (ricordo che il quadrato di un numero è il numero moltiplicato per se stesso) del gruppo centrale. Esempio SD(123)= 1*3 + (2^2)/2= 3+(4/2)=3+2 =5. Altri esempi: D(5) = (5^2)/2= 5*5/2=25/2=12.5, D(537)= 5*7+3^2/2 = 35+(9/2)=35+4.5=39.5, D(12345)= 1*5 + 2*4 +3^2/2 = 5+8+4.5=17.5.
Anche qui come detto sopra può sembrare una cosa complicata ma dopo un po di pratica vi basterà uno sguardo per calcolare al volo il semiduplex.
Aggiungo che questa definizione di semiduplex può sembrare un po arrangiata a chi ha una formazione accademica scientifica però ha il pregio di essere abbastanza chiara. Esiste una definizione matematica formale basata sulle successioni definite per ricorrenza ma evito di scriverla per non rendere il tutto troppo tecnico.
Il semiduplex, così come il duplex, è definito anche per suddivisioni in gruppi di più di una cifra o con cifre negative.
Esempi:
SD(1|-2|4) = 1*4 +(-2)^2/2 =4+ 4/2= 4+2=6 NB -2^2= -2*-2=4 visto che nel prodotto dei segni si ha -*-=+.
SD(1|-1|2|-2) = (1*-2)+(-1*2)=-2+-2=-4
SD(01|-75)= 01*-75=-75

Ora si possiedono tutti gli strumenti matematici per descrivere questo benedetto algoritmo però ora he ho fatto tutte queste premesse mi accorgo che la carne messa a cuocere è già un bel po. Forse è meglio dare un po di tempo per assimilare quanto scritto e poi introdurre gli algoritmi.
Giusto per non far restare le persone sulle spine faccio un esempio dell'algoritmo senza dare spiegazioni. Giusto per togliere la eventuale curiosità di qualcuno. Le spiegazioni le darò al prossimo messaggio (se non domani penso entro un paio di giorni) così come il metodo per memorizzare che io uso e vorrei migliorare insieme a voi (e vorrei anche spiegare il metodo dell'interpolazione di Lane).

Radice quadrata di 640646 fino a 8 cifre esatte (il numero non l'ho scelto a caso ma viene da uno dei problemi dell'ultimo campionato mondiale di calcolo mentale svoltosi nel 2014 in Germania).
640646, 6 cifre quindi la radice ha 3 cifre intere.
6406-80^2=06
06/2=03
032/80=0R32
323 -SD(0)=323
323/80=4R3
30-SD(0|4)=30
30/80=0R30
300-SD(040)=292
292/80=3R52
520-SD(0403)=520
520/80=6R40
400-SD(04036)=388
388/80=4R68
Radice quadrata(640646) = 800.40364
La calcolatrice conferma e volendo si può andare avanti per quante cifre decimali si vuole.