la spiegazione è un pò lunga.
L'anatra inizia a nuotare a spirale e riesce a mantenere la tessa velocità angolare del gatto, per cui riesce a mantenere il gatto nel punto più lontano da se, fintanto che si allontana di un quarto del raggo dal centro del laghetto, a quel punto gli restano da percorrere i 3/4 del raggio mentre al gatto resta sempre da percorrere la semicirconferenza (pi grego . r) e il vantaggio è sufficiente per arrivare alla riva prima del gatto.
Ecco la dimostrazione:
Omega ovvero la velocità angolare è uguale alla velocità lineare / raggio O=V/r
chiamo Og (velocità angolare del gatto) e Oa(velocità angolare dell'anatra),
quindi
Og=Vg/r
Oa=Va/r,
ipotizziamo che l'anatra vada a 1 metro al secondo,
quindi
Vg=4Va ,
e di conseguenza
Og=4/r e Oa=1/r,
per avere la stessa O, cioè Og=Oa devo fare 4/rg=1/ra
ra=1/4rg
ovvero ra (raggio dell'anatra)=1/4rg(raggio gatto)
Il raggio del gatto è ovviamente fisso e corrisponde al raggio del laghetto, il raggio dell'anatra aumenta man mano che si allontana dal centro.
Supponiamo che rg che corrisponde anche al raggio del laghetto sia uguale a 2 metri, l'anatra nuotando a spirale può portarsi fino ad 1 metro e 50 dalla riva tenendo sempre il gatto nel punto più lontano.
Se l'anatra va a 1metro al secondo per percorrere 1,5 metri ci mette
1,5 secondiSe il gatto va a 4metri al secondo deve percorrere 6,28 metri (2*3,14) e quindi 6,28/4, ci mette
1,57 secondiIn sostanza l'anatra arriva
7 centesimi di secondo prima, spicca il volo e quindi si salva per un pelo.
Più è grande il raggio del laghetto maggiore è il vantaggio in termini di tempo per l'anatra.
Praticamente molto simile alla prima risposta di Max ma con la dimostrazione matematica
