Un numero non precisato di soldati si schiera a quadrato (n righe ed n colonne).
In tale disposizione i soldati si dispongono come su una scacchiera, in ogni riga vi sono n soldati, e così in ogni colonna.
Il sergente che li comanda sceglie il più alto di ogni riga, e tra questi prende il più basso.
I soldati si dispongono poi nuovamente alla stessa maniera di prima, e questa volta il sergente sceglie il più basso di ogni colonna e tra questi prende poi il più alto.
Nell'ipostesi che i due soldati scelti non siano la stessa persona, chi dei due è più alto?
Il più basso tra i più alti o il più alto tra i più bassi? E perchè?
EDIT:
Illustro meglio la disposizione dei soldati.
I soldati sono disposti a quadrato, questo vuol dire che sono disposti come su una griglia di n colonne ed n righe. In ogni colonna vi sono n soldati, così come in ogni riga. Il numero non precisato è quindi n^2. E' quindi un quadrato perfetto, ma non è conosciuto il suo valore.
Però si può risolvere il problema anche nel caso che vi siano dei "buchi" nella disposizione, in questo caso la soluzione (qui di seguito) diventa semplice.
ossia non si può stabilire a priori chi dei due sia più alto, basti pensare a queste disposizioni (di ogni soldato è riportata la sua altezza in piedi):
3 4 3
2 1
i più alti di ogni riga sono 4 e 2, e tra questi verrà preso 2.
i più bassi di ogni colonna sono 2, 4, 3 e tra questi verrà preso 4
1 4 3
4 1
1 1 4
i più alti di ogni riga sono 4,4 e 4, e tra questi verrà preso 4.
i più bassi di ogni colonna sono 1, 1, 1 e tra questi verrà preso 1
Fornisco un ulteriore precisazione che metto come spoiler perchè potrebbe costituire un indizio alla risoluzione:
In realtà la disposizione a scacchiera è una limitazione, una voltra trovata la soluzione essa può essere applicata più in generale.
Ecco il problema in forma generale(a mio parere astraendolo diventa più facile risolverlo):
Sia S l'insieme dei soldati non vuoto e con cardinalità finita, e siano n, m numeri naturali diversi da 0 tali che esistano:
P
1,...,P
n partizione di S, ossia P
1 U P
2 U...U P
n=S e P
i intersecato P
j=vuoto se i diverso da j. 0<i,j<n+1
Q
1,...,Q
m un'altra partizione di S tale che per ogni 0<i<n+1 e o<j<m+1 si ha
card(P
i intersecato Q
j)=1
Supponiamo che esista su S una relazione di ordinamento totale "<"
Per ogni i scegliamo pa
i uno degli elementi massimi di P
i e chiamiamo Pa la loro unione. Tra questi chiamiamo "a" uno degli elementi minimi di Pa.
Per ogni j scegliamo qb
j uno degli elementi minimi di Q
j e chiamiamo Qb la loro unione. Tra questi chiamiamo "b" uno degli elementi massimi di Qb.
Supponendo che a diverso da b quali delle seguenti relazioni si verifica?
a<b oppure b<a oppure può verificarsi una delle due a seconda dei casi?
per esempio con n=3 la disposizione sarebbe (indichiamo con S i soldati)
S S S
S S S
S S S
e con n=5:
S S S S S
S S S S S
S S S S S
S S S S S
S S S S S
Edited by TarsioSpettro - 9/2/2013, 10:56
)?
