Per controllare i risultati dei conti alle elementari ci hanno insegnato la prova del 9. Si tratta di un procedimento che attraverso una serie di calcoli più semplici rispetto alla ripetizione della moltiplicazione (ma anche nella divisione e nella somma) si poteva verificare se il risultato era corretto, con un certo margine di sicurezza, o accorgersi che si aveva invece commesso un errore.
La tecnica non è poi semplicissima da usare, ed il risultato è che una volta cresciuti, nessuno la ricorda.
Parte del problema risiede nel fatto che non viene mai spiegato perchè funzioni la tecnica, ma la cosa è comprensibile, infatti ritengo sia uno degli argomenti matematici più complessi tra quelli trattati nella scula dell'obbligo.
Vi incuriosirà sapere che fuori dalla scuola ha comunque una vasta applicazione, viene infatti utilizzata (in una versione ovviamente modificata, ma comunque basata sullo stesso principio) per determinare il carattere di controllo del codice fiscale, carte di credito, numeri di conto, numerazioni di banconote etc.
Un semplice trucco che previene l'errore umano, così se sbagliate a inserire il numero di conto i vostri soldi non verranno inviati a canicattì, bensì vi verrà restituito un più innocuo messaggio di codice errato.
Cominciamo quindi dall'operazione matematica su cui è basata la prova del 9: l'operazione modulo.
L'operazione modulo, (che si indica con a mod b) associa ad e b il resto della divisione intera tra a e b, per es. se vogliamo calcolare 17 mod 3 dovremmo dividere 17 per 3 (ossia 5) e prendere il resto (1) quindi 17 mod 3 = 1
oppure 23 mod 5 =
3, perchè 23/5= 4 col resto di
3 o anche 71 mod 6 =
5, perchè 71/6=11 col resto di
5A prima vista l'operazione modulo può apparire complessa o artificiosa, ma in realtà può essere calcolata molto più velocemente della divisione o del prodotto, e ha molte applicazioni.
Ma facciamo qualche esempio:
· a mod b = 0 se e solo se a è divisibile per b
infatti 33 mod 11 = 0 proprio perchè 33 è divisibile per 11, ricordate che è il resto della divisione intera, se il resto è 0, allora vuol dire che a è divisibile per b.
· n mod 2 può assumere solo i valori 0 (se il numero è pari) o 1 (se il numero è dispari)
Poi ci sono casi in cui calcolare il modulo è più facile rispetto ad altri, e sono: 2, 5, 9, 10, 11
Il 2 l'abbiamo già spiegato, per calcolare invece "a mod 5" e "a mod 10" è sufficiente guardare l'ultima cifra.
Se ci pensate 2314245157 mod 5 = 2 senza dover eseguire nessun calcolo, mentre 34348 mod 10 = 8. Provate a farlo da soli, dovete ricordare che si tratta del resto della divisione per 5 e per 10. Se divido per 10 il resto è la cifra delle unità (infatti i numeri che terminano per 0 hanno resto per 10 uguale a 0 e quindi sono divisibili per 10 per quanto detto sopra) e per 5 invece?
Per 9 il discorso è un poco più complicato, bisogna infatti sommare tutte le cifre del numero, quindi 233 mod 9 = 2+3+3= 8 e 121 mod 9=1+2+1=4
Se il risultato è più grande di 9 si ripete il procedimento finche non si ottiene un valore strettamente minore di 9 (ricordate che il resto deve essere più piccolo del divisore!), ossia:
16798 mod 9 = 1+6+7+9+8 mod 9 = 31 mod 9 = 3+1
27856478652 mod 9 = 2+7+8+5+6+4+7+8+6+5+2 mod 9 = 60 mod 9 = 6+0 = 6
Non è veramente necessario fare la somma, con la pratica si arriva poi a semplificare mentre si calcola, nel secondo caso si fa 2+7=9=0 +8+5=13=4+6=10=1+4=5+7=12=3+8=2+6=8+5=4+2=6 dove ho semplicemente calcolato il resto modulo 9 ogni volta che superavo o raggiungevo la decina. (Se siete ancora più bravi potrete sostituire 8 con -1 e 7 con -2, ma lasciamo stare per il momento)
Ora siete in grado di calcolare il resto modulo 9 di qualsiasi numero in rapidità, ma a cosa serve, potreste chiedermi?
Tanto per dirne una, probabilmente conoscete già questa tecnica come quella utilizzata per vedere se un numero è divisibile per 3.
Infatti se a mod 9 = 0 oppure 3 oppure 6 ne segue che il numero è divisibile per 3.
E poi l'operazione modulo ha alcune proprietà "intuitive" che ci consentono di utilizzarla per la prova del 9:
Siano a, b, n due numeri interi, allora:
· (a+b) mod n = (a mod n) + (b mod n)
· (axb) mod n = (a mod n) x (b mod n)
· (a
b) mod n = (a mod n)
b mod n
Ecco che allora discende il funzionamento della prova del 9!
Così, mettiamo di aver calcolato:
a x b = n
e di volerlo controllare. Per farlo calcoliamo
a1=a mod 9
b1=b mod 9
e infine facciamo n1=(a1 x b1) mod 9
Se i nostri conti erano esatti allora troveremo che (n mod 9) = n, altrimenti se l'uguaglianza non è verificata, significa che abbiamo sbagliato qualcosa.
Notiamo che si può sbagliare il calcolo ma risultare comunque corretta la prova del 9. La cosa è comunque un po' improbabile, infatti la prova del 9 richiede il contributo di tutte le cifre (esattamente come il carattere di controllo finale del codice fiscale
) e sbagliandone una sola in genere la congruenza modulo 9 viene modificata (a meno che non si scambino un 9 e uno 0) quindi è necessario sbagliare due cifre e avere comunque un po' di sfortuna (c'è poi una probabilità su 9 di beccare proprio quella cifra...)
Terminiamo con un esempio:
13 x 52 = 686
13 mod 9 = 4 = a1
52 mod 9 = 7 = b1
4 x 7 mod 9 = 28 mod 9 =
1 =n1
686 mod 9 =
2 che è diverso da 1, accidenti ho fatto un errore!
Sarà sempre più rapido che rifare i calcoli!
Un ultima cosa, in teoria si potrebbe fare anche la prova del 2, del 17 o del 10 ma il 9 è per così dire la scelta più conveniente, infatti:
- a mod 9 è semplice da calcolare
- è abbastanza grande da essere significativo, quindi se si sbaglia il calcolo probabilmente il test darà un risultato negativo, dunque è affidabile. Certo, 77 è più grande, però provate a calcolare il resto modulo 77....
- richiede il contributo di tutte le cifre. Una prova del 10 non sarebbe molto significativa, perchè per essere calcolata richiede solo il contributo delle unità, e dunque se sbaglio le altre cifre non se ne accorge.
