Radice cubica di un cubo perfetto a mente

Questa è una tecnica che ho ripreso dal video di Scott. Nel filmato lo si vedeva calcolare a mente la radice cubica di un numero di 6 cifre. Poichè in genere nessuno è in grado di calcolare a mente nemmeno la radice cubica di 2, la performance appare stupefacente.
In realtà analizzando la cosa nel dettaglio si scopre che si tratta di un calcolo semplicissimo. Infatti Scott non calcolava una radice cubica qualsiasi, bensì la radice cubica di un cubo perfetto, e in questo caso il calcolo è in realtà molto semplice e può essere imparato in poco tempo. Probabilmente, anche se è in grado di dirvi la radice cubica di 117649, difficilmente saprà dirvi la radice cubica di 2.

Per cominciare, che cos'è un cubo perfetto? Un cubo perfetto è un numero la cui radice cubica è un numero intero.
In generale la radice cubica di un numero può essere solo o un intero, oppure un numero irrazionale (ossia un numero con sviluppo decimale infinito e non periodico)
Il simbolo di elevazione a potenza si indica con ^. Quindi per es 5 al cubo si scrive 5^3=5·5·5.

Detto questo vediamo il metodo per calcolare la radice cubica nel caso che questa sia un numero intero di due cifre, ossia nella forma:
du ^ 3 = n
dove d è la cifra delle decine e u quella delle unità, ed n è il numero di cui dobbiamo calcolare la radice cubica (notare che d ed u indicano cifre singole, n invece è un numero). Per prima cosa cerchiamo la cifra delle decine, utilizzando la seguente tabella:

10^3=1000, 20^3=8000, 30^3=27000, 40^3=64000, 50^3=125000,
60^3=216000, 70^3=343000, 80^3=512000, 90^3=729000, 100^3=1000000

Ora dobbiamo vedere in quale intervallo è compreso n. Per es. se n=389017 allora è compreso tra 343000 e 512000 ossia tra 70^3 e 80^3 e quindi la sua radice cubica è maggiore di 70 ma minore di 80, dunque la sua cifra delle decine deve essere 7. Se il numero è 54872 possiamo concludere che la cifra delle decine è 3, perche 54872 è compreso tra 30^3 e 40^3. 681472 è compreso tra 80^3 e 90 ^3 e dunque la cifra delle decine è 8.

Resta quindi da trovare la cifra delle unità.

Si prende la cifra delle unità di n, e la si trasforma secondo questa griglia per ottenere u.
1->1 , 2->8 , 3->7 , 4->4 , 5->5 , 6->6 , 7->3 , 8->2 , 9->9 , 0->0

Ossia se n termina con 1 allora la cifra delle unità è 1, se n termina con 2 allora la cifra delle unità è 8, se n termina con 3 la cifra delle unità è 7 e così via.

Ora siamo pronti a fare un paio di esempi.
La radice cubica di 195112 è 58, perche il numero è compreso tra 50^3 e 60^3, e termina per 2 che si trasforma in 8.
La radice cubica di 103823 è 47, perchè è compresa tra 40^3 e 50^3 e termina per 3 che diventa 7.
Con questo metodo potete calcolare le radici cubiche (di cubi perfetti) da 0 a un milione.

Spero di essere stato chiaro, ho intenzione anche di postare il metodo nel caso di un numero di 3 cifre (quindi fino a un miliardo), che però è un po' più complesso

Cerchiamo di andare un po' oltre, e cerchiamo la radice cubica del cubo perfetto di un numero di 3 cifre, ossia la radice cubica di un numero di 9 cifre.
Quindi sia n=cdu^3 il numero di cui trovare la radice cubica.

Per trovare u, la cifra delle unità il procedimento è sempre il medesimo del caso precedente.
Per cercare c, la cifra delle centinaia, la tecnica è la stessa adoperata per trovare le decine nel caso precedente, ossia dati questi cubi:

100^3=1.000.000, 200^3=8.000.000, 300^3=27.000.000, 400^3=64.000.000, 500^3=125.000.000,
600^3=216.000.000, 700^3=343.000.000, 800^3=512.000.000, 900^3=729.000.000, 1000^3=1.000.000.000

Si tratta di vedere in quale intervallo cade n, e trovare quindi la relativa centinaia. Ossia se n=183.250.432 allora è compreso tra 500^3 e 600^3 e dunque la cifra delle centinaia è 5. Non fatevi impressionare da tutti questi zeri, l'unica cosa importante sono le tre cifre davanti.

Quindi la tecnica è la stessa di prima, tranne per il fatto che ci resta da trovare la cifra delle decine. Per farlo è necessario calcolare la congruenza modulo 11.

Dobbiamo quindi calcolare il resto della divisione per 11. Ossia dato n bisogna fare:
n modulo 11 = somma delle cifre dispari - somma delle cifre pari
contate a partire da destra. Se il risultato è più grande di 11 si ripete il procedimento. Se alla fine si ottiene un numero negativo compreso tra -11 e -1 bisogna sommarvi 11 per ottenere il risultato. ecco alcuni esempi.

593582 modulo 11 = 2-8+5-3+9-4 = 1

82484 modulo 11 = 8-4+4-2+8 = 14 che è più grande di 11, ripeto il procedimento: 14 modulo 11 = 4-1 = 3 che è il risultato

715392 modulo 11 = 2-9+3-5+1-7 = -15 che è più grande di 11, si ripete il procedimento tenendo il meno davanti -15 modulo 11 = - (5-1) = -4 che è ancora negativo ma stavolta è più piccolo di 11. Quindi vado a sommargli 11. 11-4=7 che è il risultato.

Quindi calcolate il resto modulo 11 di n, e chiamiamo "r" il risultato ottenuto.
Ricordiamo che u e a erano rispettivamente le cifre delle unità e delle decine.
A questo punto dobbiamo trasformare r secondo una nuova tabella, anche questa da imparare:

0-->0
1->10
2-->4
3-->2
4-->6
5-->8
6-->3
7-->5
8-->9
9-->7
10-->1
11-->0

e chiamiamo la r trasformata secondo la tabella "rt" per ricordarci "r trasformata"

Quindi finalmente d = (u + c + rt) modulo 11
Ebbene si, bisogna fare un altro modulo 11, ma questa volta con numeri di al massimo 2 cifre. Abbiamo così tutte e 3 le nostre cifre.

Facciamo un esempio con 178453547
vediamo che inizia con 178 quindi è compreso tra 500^3 e 600^3 quindi c=5

Finisce con 7, che nella tabella (vedi quella del post precedente) diventa un 3, ossia u=3.

Calcoliamo n modulo 11 = 7-4+5-3+5-4+8-7+1 = 8 e non c'è bisogno di ripetere il procedimento, perchè è minore di 11. Quindi r=8.
Trasformiamo l'8 con la nostra tabella (questa volta usiamo quella qui sopra) e l'8 diventa un 9 ossia rt=9

facciamo (u + c + rt) modulo 11= (3 + 5 + 9) = 17 modulo 11 = 6 = d
Quindi il numero cercato è cdu = 563

Edited by TarsioSpettro - 23/1/2013, 21:09

Corretto, se ci sono altri errori segnalateli.

E' lunghino si, infatti scott lo faceva con numeri di 6 cifre, mica usava questo. Però è sempre più veloce che con l'estrazione ordinaria
E' l'estensione naturale del metodo precedente, che usa solo il resto modulo 10 che è immediato da calcolare (è la cifra delle unità). Non mi è venuto in mente altro, e anche per internet ho ritrovato solo questo.

Dipende quante sono le cifre

É passato un po' di tempo e non mi ricordo più esattamente. Credo che per fare la tabella abbia cercato la radice cubica modulo 11 e cambiato di segno.
Per esempio 5^3=125=4 modulo 11 e cambiato di segno diventa 11-4=7. Dunque 7 è il cubo di 5 e pertanto 5 è la radice cubica di 7 (modulo 11).
Se si vuole aumentare il numero di cifre bisogna aumentare anche le classi di congruenza. Se per esempio cerchiamo la radice cubica di un cubo di un numero di 4 cifre, abbiamo bisogno di guardare la congruenza per un numero diverso da 10 e 11. Per esempio un buon candidato potrebbe essere 9 credo. Sarebbe più complicato ma penso sia fattibile, magari ci penso sopra. Se invece la radice ha 5 cifre (radice di un numero di 15 cifre) non penso sia praticabile.
Per la radice settupla e undicesima dovrebbe venire la stessa cosa che per la radice terza, cambieranno giusto le tabelle, invece la radice quinta potrebbe porre dei problemi

Comunque se sei interessato posso spiegare un po' meglio la tecnica in generale

In generale la tecnica consiste nel caclolare la radice (cubica quinta etc..) modulo alcune classi di congruenza (nel nostro caso modulo 10 e modulo 11) e ricostruire poi il risultato conoscendo le classi di congruenza. In questo discorso possiamo ignorare l'individuazione della cifra più alta.
Facciamo un esempio dove illustro perchè scelgo certe classi di congruenza e non altre: vogliamo calcolare la radice cubica di 39304, sapendo che questa è un intero ( e minore di 100)
Ora la cifra delle unità di 39304 è 4, il che vuol dire che 39304 è congruo a 4 modulo 10 (ossia 39304 diviso 10 è uguale ad un certo numero che non ci interessa con IL RESTO DI 4).
Ora bisogna sapere che con le classi di congruenza possiamo fare la somma e la moltiplicazione esattamente come con i numeri normali. Questo vuol dire che possiamo fare anche l'elevazione a potenza.
Adesso cerchiamo un numero, che al cubo faccia 4, modulo 10. Per trovarlo purtroppo non c'è altro modo che provarli tutti uno per uno.
1^3=1 e quindi non va bene.
2^3=8 e quindi no
3^3=27=7 modulo 10 e quindi non va bene neanche lui
4^3=64=4 modulo 10 e quindi è quello che cerchiamo

Ora ci chiediamo: esistono altri numeri che elevati al cubo modulo 10 ci danno 4? La risposta è no. Per vederlo possiamo fare la prova e calcolarli tutti.
Quindi abbiamo che possiamo definire in modo unico la radice cubica modulo 10, e che la radice cubica di 4 modulo 10 è 4. Visto che c'è corrispondenza nelle operazioni modulo un intero e le operazioni normali, questo vuol dire che c'è anche corrispondenza tra le radici. Quindi la radice cubica di 39304 è congrua 4 modulo 10, il che vuol dire che la sua cifra delle unità è 4.

Ora questo non ci basta, vogliamo anche la cifra delle decine, e per trovarla abbiamo bisogno di più informazioni. Più informazioni vuol dire che dobbiamo calcolare la classe di congruenza modulo un altro intero. Ci chiediamo quale.
- 2 e 5 non vanno bene, perchè di fatto le abbiamo già calcolate. Infatti 10 raccoglie in se le informazioni su la classe di congruenza modulo 2 e 5 contemporaneamente (visto che 10=5x2)
- Se il numero è divisibile per un quadrato non va bene, perchè in tal caso non abbiamo l'unicità della radice cubica. Per esempio 9 non va mai bene, mi ero sbagliato nella risposta dell'altro giorno, infatti il cubo di 0, 3 e 6 modulo 9 è sempre 0, e quindi la radice cubica non è unica.
-Nei casi rimanenti non abbiamo comunque la garanzia dell'unicità della radice (ce l'abbiamo solo quando tutti i fattori primi che dividono il numero, meno 1, sono coprimi (ossia non hanno divisori in comune) con l'esponente della radice)

2 l'abbiamo già, quindi eliminiamo tutti i numeri pari (e allo stesso modo quelli divisibili per 5). Restano esclusi 7,11,13,17, 19 etc

-7 non è una buona scelta per 3 motivi: intanto è più piccolo di 10, e questo vuol dire che non ci da abbastanza informazioni (infatti per la cifra delle decine abbiamo 10 possibilità, un numero compreso tra 1 e 7 non basta per escludere tutti i casi). Poi 7-1=6 e divisibile per 3 e quindi abbiamo comunque che la radice cubica modulo 7 non è unica e per finire la classe di congruenza modulo 7 non è facilissima da calcolare.

-11 è un'ottima scelta. E' più grande di 10, 11-1=10 che non è divisibile per 3 e le classi di congruenza modulo 11 sono facili da calcolare, basta infatti fare la somma delle cifre dispari meno la somma delle cifre pari.

Abbiamo quindi che 39304 modulo 11 è 4-0+3-9+3=1. Modulo 11, la radice cubica di 1 è 1. Quindi sappiamo che la radice cubica di 39304 modulo 11 è 1 (e che la cifra delle unità è 4).
Ora, a partire dalle classi di congruenza, ricostruiamo il numero. Sappiamo che la sua classe di congruenza modulo 11 è la somma delle cifre dispari meno le cifre pari, ossia la cifra delle unità (4) meno la cifra delle decine. Quindi 4-lacifradelledecine=1. Dunque la cifra delle decine è 4-1=3. Quindi la radice cubica è 34

Faccio un secondo esempio su come può essere possibile estendere la tecnica usando altre classi di congruenza.
Vogliamo calcolare la radice cubica di 2.406.104 sapendo che questa è un intero (minore di mille).

-La sua classe di congruenza modulo 10 è 4, e la radice cubica di 4 modulo 10 è 4, quindi la cifra delle unità è 4.
-La sua classe di congruenza modulo 11 è 8 (o -3, che è la stessa cosa), e la radice cubica di 8 modulo 11 è 2, quindi la radice cubica del nostro numero è congrua 2 modulo 11.

Adesso cerchiamo altre classi di equivalenza. Proviamo per esempio 13, che era il successivo nella lista dopo 11.
Calcoliamo la classe di equivalenza di 2.406.104 modulo 13. Per farlo possiamo fare la divisione intera per 13, e senza memorizzare il risultato della divisione, guardare solo al resto. Esistono anche altri modi, che comunque richiedono un certo allenamento e un certo sforzo. Facendo i calcoli vediamo che viene 12. Adesso cerchiamo la radice cubica di 12 modulo 13, come al solito non c'è altro modo che fare le prove. Quindi:
1^3=1
2^3=8
3^3=27=1 modulo 13
4^3=64=12 modulo 13

Quindi 4 è la radice cubica di 12 modulo 13? non proprio, infatti abbiamo:
10^3=12 modulo 13
12^3=12 modulo 13

Quindi abbiamo tre possibili risultati: 4,10,12. Con questi dati è difficile andare avanti, 13 non va bene.
Potevamo prevederlo? Si, infatti 3 divide 12=13-1. Questa regola ci diceva a priori che 13 non andava bene. Per contro, 13 può andare bene per calcolare le radici quinte, visto che 5 non divide 12.

Escluso 13, il successivo nella lista è 17. 17-1=16, che non è divisibile per 3, quindi va bene. Abbiamo che il nostro numero modulo 17 è pari a 9. La radice cubica di 9 modulo 17 è 15. Quindi la radice cubica del numero è congrua 15 modulo 17. IN definitiva abbiamo:

La cifra delle unità è 4
E' congruo 2 modulo 11
E' congruo 15 modulo 17

Questi dati ci permettono di concludere che la radice cubica è 134. In questo caso vediamo che i calcoli si sono complicati notevolmente

Magari può essere utile leggere qualcosa (non è difficile) sulle classi di congruenza. Per esempio:
www.crittologia.eu/mate/aritfin.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/teorcinese.htm