Trova il truffatore 2 [RISOLTO*]

ci provo!!
prendo una moneta dal primo sacchetto, due dal secondo, tre dal terzo e così via... metto il tutto sulla bilancia e ottengo come risultato P(1)=55v-(n+m)(v-f) dove v sta per peso della moneta vera, f per peso della moneta falsa, n per posizione del primo sacchetto con monete false e m posizione del secondo sacchetto con monete false...

P(1)=55v-nv-mv+nf+mf
P(1)=(55-n-m)v+(n+m)f

per la seconda pesata scambio la posizione del primo sacchetto col decimo, il secondo col nono, il terzo con l'ottavo e così via... la posizione di n perciò diventa 11-n e quella di m diventa 11-m... peso il tutto e ottengo lo stesso risultato di prima dove avrò al posto di n 11-n e al posto di m avrò 11-m quindi

P(2)=(55-11+n-11+m)v+(11-n+11-m)f
P(2)=(33+n+m)v+(22-n-m)f

dato che conosco sia v sia f sia P(1) e sia P(2) alla fine le incognite sono solo m ed n e ho un sistema a due equazioni e due incognite che posso risolvere

Al solito, siano 1,2,...,10 i contadini, B il peso di una moneta ben fatta e T il peso di una taroccata. Sta volta assumo (senza porre restrizioni sta volta) che le monete taroccate pesino meno di quelle ben fatte (dato che conosciamo il peso di entrambe, per ipotesi, sappiamo quale pesa di più quindi per ottenere lo studio di un caso da quello dell'altro basta rovesciare i versi delle disuguaglianze).

Prendo prima n monete dall'n-esimo contadino ottenendo un peso P, da questo posso ricavare il numero di monete taroccate r sulla bilancia risolvendo (rispetto a ad r poiché B,T e P sono noti)

(1+2+...+10 - r)B + rT = P

(55-r)B + rT = P
55B + (T-B)r = P

r = (P-55B)(T-B)

A questo punto bisogna osservare che, ad esempio, se se fosse r = 7, questo potrebbe significare che o i truffatori sono il 5o ed il 2o contadino (2+5 =7) o il 1o ed il 6o ad esempio. Bisogna, quindi, preoccuparsi dei modi possibili in cui, i numeri da 3 a 19, si possono scrivere come somma di DUE (perché due sono i truffatori) numeri distinti compresi tra 1 e 10.
Si ha :
3 = 1+2
4 = 1+3
5 = 1+4 = 2+3
6 = 1+5 = 2+4
7 = 1+6 = 2+5 = 3+4
8 = 1+7 = 2+6 = 3+5
9 = 1+8 = ....
.....

in generale si ha r = a1+b1 = a2+b2 = ... = ak+bk con aj < bj per ogni j tra 1 e k.
A questo punto, se r = a1+b1 = a2+b2 = ... = ak+bk posso affermare che se aj è colpevole ( 0<j<k+1 ) allora lo è anche bj perché si ottiene in modo immediato da r sottraendo aj e quindi è univocamente determinato. Allora, date queste relazioni logiche, risulta ovvio che tra gli aj il colpevole è uno solo! Così facendo ho ricondotto il problema alla soluzione del caso base dell'indovinello.

dato che tra gli aj il colpevole è uno solo allora, usando la stessa tecnica usata per il caso base (ordinarli, prendere n monete da quello che si trova nell'n-esimo posto nell'ordine stabilito, dal peso si capisce quante monete sono taroccate e, di conseguenza, dato che da ognuno si prende un numero diverso di monete, il contadino aj truffatore). Trovato aj, poiché le monete taroccate sono r, bj = r-aj deve essere l'altro contadino colpevole!