Cynical314 |
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| Al solito, siano 1,2,...,10 i contadini, B il peso di una moneta ben fatta e T il peso di una taroccata. Sta volta assumo (senza porre restrizioni sta volta) che le monete taroccate pesino meno di quelle ben fatte (dato che conosciamo il peso di entrambe, per ipotesi, sappiamo quale pesa di più quindi per ottenere lo studio di un caso da quello dell'altro basta rovesciare i versi delle disuguaglianze).
Prendo prima n monete dall'n-esimo contadino ottenendo un peso P, da questo posso ricavare il numero di monete taroccate r sulla bilancia risolvendo (rispetto a ad r poiché B,T e P sono noti)
(1+2+...+10 - r)B + rT = P
(55-r)B + rT = P
55B + (T-B)r = P
r = (P-55B)(T-B)
A questo punto bisogna osservare che, ad esempio, se se fosse r = 7, questo potrebbe significare che o i truffatori sono il 5o ed il 2o contadino (2+5 =7) o il 1o ed il 6o ad esempio. Bisogna, quindi, preoccuparsi dei modi possibili in cui, i numeri da 3 a 19, si possono scrivere come somma di DUE (perché due sono i truffatori) numeri distinti compresi tra 1 e 10.
Si ha :
3 = 1+2
4 = 1+3
5 = 1+4 = 2+3
6 = 1+5 = 2+4
7 = 1+6 = 2+5 = 3+4
8 = 1+7 = 2+6 = 3+5
9 = 1+8 = ....
.....
in generale si ha r = a1+b1 = a2+b2 = ... = ak+bk con aj < bj per ogni j tra 1 e k.
A questo punto, se r = a1+b1 = a2+b2 = ... = ak+bk posso affermare che se aj è colpevole ( 0<j<k+1 ) allora lo è anche bj perché si ottiene in modo immediato da r sottraendo aj e quindi è univocamente determinato. Allora, date queste relazioni logiche, risulta ovvio che tra gli aj il colpevole è uno solo! Così facendo ho ricondotto il problema alla soluzione del caso base dell'indovinello. |
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